Cosa dicono Roth e Shapley, premi Nobel 2012

Il premio della Banca di Svezia per le scienze economiche in memoria di Alfred Nobel è stato assegnato congiuntamente ad Alvin Roth e Lloyd Shapley “per la teoria delle allocazioni stabili e la pratica della progettazione dei mercati”.
Non possiamo che rallegrarci per questa scelta felice dell’Accademia di Svezia. Era diffusa l’opinione che Shapley, grande economista matematico che ha contribuito a creare la teoria dei giochi negli anni Cinquanta, fosse rimasto ingiustamente escluso quando altri hanno ricevuto il premio nel 1994, 2005 e 2007 per i loro contributi a questa disciplina. Il turno di Shapley è arrivato quando si è deciso di premiare Alvin Roth, eclettico economista teorico e sperimentale, ma soprattutto “ingegnere economico”, sul cui lavoro Shapley ha influito in modo cruciale. In questa occasione si è potuto assegnare un premio alla carriera meritatissimo per entrambi senza “arrampicarsi sui vetri” per identificare un contributo specifico da menzionare nella breve frase di motivazione.

IL VALORE DI SHAPLEY

In un breve articolo scritto nel 1962 con David Gale (deceduto nel 2008), Shapley affronta in modo puramente teorico un problema pratico molto vicino agli interessi dei professori, soprattutto negli Stati Uniti: come decidere le ammissioni degli studenti nelle scuole (università) facendo in modo che né gli uni né le altre possano pentirsi delle loro scelte. L’impatto dell’articolo è stato tale che vale la pena di soffermarsi sul contenuto. La soluzione proposta al problema delle ammissioni è elegante e relativamente semplice. Si tratta del cosiddetto “algoritmo dell’accettazione differita”, che può essere descritto sia come una successione di scelte sia come un programma operato da un calcolatore. Nel primo passo, ogni studente fa domanda alla scuola preferita, e ogni scuola mette in lista d’attesa per le proprie n posizioni disponibili gli n candidati più graditi (in base ai propri criteri di selezione), oppure tutti, se meno di n candidati l’hanno indicata come prima scelta. Nel secondo passo, ogni studente rifiutato, cioè non incluso in alcuna lista d’attesa, fa domanda alla seconda scuola preferita; ogni scuola confronta i nuovi candidati con quelli già in lista d’attesa e trattiene nella lista i più graditi fino alla capienza massima di n posizioni, scartando gli altri. La procedura continua fino a che, o tutte le scuole raggiungono la massima capienza, o nessuno studente vuole andare nelle scuole che non l’hanno ancora rifiutato. Lo stesso risultato può essere calcolato dal computer dell’autorità competente, diciamo il distretto scolastico, se ogni partecipante fornisce una lista ordinata per preferenza, per esempio una lista di scuole nel caso degli studenti. Il teorema dimostrato da Gale e Shapley è che l’algoritmo determina una soluzione stabile, cioè tale che non può verificarsi il caso di due studenti a e b ammessi rispettivamente alle scuole A e B, in cui apreferisce B e B preferisce a. Se così fosse, a e B sarebbero fortemente tentati di stipulare un accordo separato e non onorare il precedente impegno. L’algoritmo dell’accettazione differita evita queste spiacevoli situazioni.
Probabilmente è da queste sei pagine di matematica (e senza neanche una formula) che parte il tragitto di Shapley verso un premio che ha meritato anche per altri contributi molto più importanti dal punto di vista teorico, primo tra tutti la soluzione di un problema lasciato aperto dai fondatori della teoria dei giochi, John von Neumann e Oskar Morgenstern: quello della divisione del surplus in un “gioco in forma coalizionale”. Si pensi al seguente problema: n individui possono mettere in comune, tutti insieme o in sottogruppi, il proprio patrimonio di beni capitali e competenze per formare un’impresa. Esiste una stima del surplus che il gruppo di n individui, e ogni sottogruppo, o coalizione (compresi gli individui singoli) riuscirebbe a creare. Per ipotesi, se due coalizioni si uniscono, il surplus complessivo è maggiore della somma dei surplus che le coalizioni otterrebbero isolatamente. Dunque è efficiente che si formi un’impresa unica con n individui. Ma come dovranno spartirsi il surplus? Shapley, nel 1953, fornisce una soluzione geniale. Da matematico, anzitutto propone alcuni assiomi, cioè proprietà ragionevoli che la soluzione dovrebbe soddisfare; ad esempio, nessuno può avere meno di quanto si può procurare da solo, e individui con le stesse capacità di creare surplus devono ricevere parti uguali. Quindi dimostra che esiste una sola regola di spartizione, oggi nota come valore di Shapley, che soddisfa gli assiomi. Anche in questo caso l’interpretazione è relativamente semplice. Cominciamo considerando un ordinamento arbitrario degli n individui, diamo al primo ciò che potrebbe procurarsi da solo, al secondo il surplus aggiuntivo che si creerebbe se si coalizzasse con il primo, al terzo il surplus aggiuntivo che si creerebbe se si coalizzasse con i primi due, e così via. Ripetiamo la procedura per ognuno degli (n!) ordinamenti possibili, e poi calcoliamo la remunerazione media per ogni individuo. Il risultato è efficiente e tiene conto del potere di contrattazione dei singoli individui.
L’algoritmo della accettazione differita è cruciale, come si vedrà, nel far incontrare domanda e offerta in situazioni in cui sono escluse transazioni monetarie e quindi non si può ricorrere al sistema dei prezzi. Il valore di Shapley ha avuto un enorme impatto sulla teoria dei giochi e le sue applicazioni all’economia (teoria dell’impresa) e alle scienze politiche (indici di potere).
Shapley ha inoltre fornito altri contributi importanti su cui non posso soffermarmi per ragioni di spazio. Mi limito a citare il celebrato teorema di esistenza di un’allocazione nel “core” di un gioco in forma coalizionale, e l’introduzione dei giochi stocastici, che permette di sviluppare l’analisi dinamica delle decisioni e dell’interazione strategica.

L’INGEGNERIA ECONOMICA DI ROTH

Roth sviluppa negli anni Ottanta la teoria delle allocazioni di Shapley. Anzitutto, mostra che l’algoritmo dell’accettazione differita non è immune a manipolazioni strategiche. Per esempio, potrebbero esserci studenti che indicano come prima scelta quella che in realtà sarebbe la loro seconda scelta, sperando che questo li aiuti a limitare i danni e non finire in una scuola, per loro, ancora peggiore. Osserva però che in mercati con molti agenti (“thick markets”) il problema principale è che le regole che mediano l’incontro di domanda e offerta soddisfino la proprietà di stabilità enfatizzata da Shapley.
Fin dalle prime fasi della sua carriera Roth studia i dettagli delle regole di funzionamento di mercati in cui l’allocazione non è mediata da un sistema di prezzi, quale ad esempio l’assegnazione dei nuovi medici agli ospedali. Questo mercato all’inizio del secolo scorso è decentralizzato, ma diventa progressivamente inefficiente e negli anni Cinquanta viene centralizzato con il National Resident Matching Program (Nrmp). Il sistema funziona in modo abbastanza simile all’algoritmo dell’accettazione differita di Gale e Shapley. Le buone proprietà di stabilità di questo sistema lo fanno funzionare abbastanza bene per quasi quarant’anni, finché nuovi sviluppi dal lato dell’offerta (per esempio, la crescita del numero di donne medico e l’esigenza di assegnare coppie a ospedali limitrofi) creano delle grosse crepe. Questo è per Roth un classico caso di studio per la teoria dei giochi. Le regole e condizioni esogene determinano la desiderabilità dei risultati. Quando nuove condizioni esogene rendono inefficienti le vecchie regole, bisogna appoggiarsi alla teoria per elaborarne di migliori. Nasce così l’approccio “ingegneristico” di Roth, che migliora l’algoritmo di Shapley per il Nrmp, e sarà adottato anche dai distretti scolastici di Boston e New York City, di cui Roth sarà consulente.
Ma affinché le nuove regole siano efficaci la teoria non basta. È necessario validarle sperimentalmente prima di metterle in pratica. Non è quindi un caso che Roth diventi negli anni Novanta uno degli esponenti di spicco di un campo d’indagine nuovo, l’economia sperimentale, la cui importanza è riconosciuta dall’Accademia di Svezia con l’assegnazione del premio Nobel ai “padri fondatori” Vernon Smith e Daniel Kahneman nel 2002. Per Roth gli esperimenti di laboratorio e la teoria dei giochi, con le sue applicazioni ai problemi di allocazione, sono i due pilastri su cui si basa la “ingegneria economica”, cioè la progettazione di regole sempre più efficaci nel far incontrare domanda e offerta.
Roth ha recentemente applicato l’ingegneria economica a uno di quei mercati da lui stesso etichettati “ripugnanti”, cioè mercati in cui molti agenti vorrebbero concludere transazioni monetarie considerate eticamente inaccettabili, che nella maggior parte dei paesi sono illegali. Si tratta dell’allocazione di reni apazienti in attesa di trapianto. Ogni anno negli Stati Uniti più di 70mila pazienti attendono il trapianto di un rene, ma meno di 11mila vengono operati e molte migliaia muoiono nell’attesa. Poiché è possibile vivere in salute con un solo rene, più di 6mila persone offrono il proprio per salvare una persona cara. Ma per problemi di incompatibilità immunologica (abbastanza frequenti, per esempio, tra marito e moglie) è spesso impossibile donare il proprio rene a chi si desidera. Mettendo assieme coppie donatore/paziente che soddisfano la compatibilità incrociata, e operando espianti e trapianti in simultanea, è possibile superare il problema. Ma fino a pochi anni fa queste operazioni erano rare. Nel 2004 Roth e i suoi collaboratori hanno mostrato che un sistema centralizzato di raccolta delle informazioni immunologiche dei molti potenziali donatori e pazienti avrebbe permesso di allocare quasi tutti i reni offerti, utilizzando catene di al massimo tre coppie donatore/paziente. Come nei casi precedenti, si tratta di creare un “thick market” utilizzando le informazioni raccolte per accoppiare donatore e ricevente secondo priorità precise. Oggi esiste un sistema centralizzato ben funzionante, il New England Program for Kidney Exchange, e ci si sta muovendo verso un sistema nazionale che permetterà di salvare migliaia di vite umane ogni anno. Come in altri casi, ci sono dei problemi di manipolazione strategica delle informazioni da affrontare: un ospedale potrebbe omettere di fornire informazioni in suo possesso, sperando di fare più trapianti in sede. Ma per fortuna ci sta pensando Alvin Roth.