Così va il virus: un modello di previsione per la Lombardia

Un modello classico per la previsione della dinamica della diffusione dei virus permette di dare alcune risposte alle domande che tutti si fanno sugli sviluppi del Covid-19. Dalla simulazione si ricavano suggerimenti di politica sanitaria ed economica.

Le domande che tutti si fanno

Quando arriverà il picco? Quanti sono le persone attualmente contagiate? Quanto si riempiranno gli ospedali? Quante saranno le vittime? Qual è la rilevanza delle misure adottate sulla dinamica di ospedalizzazione e mortalità?
Vorrei dare una risposta a queste domande ricorrenti e di grande attualità facendo riferimento a un modello classico per la previsione della dinamica della diffusione dei virus, noto come modello Seir (Susceptible, Exposed, Infected, Removed), già applicato al Covid-19 per la Cina [Wu et. al, Kucharski et. al.].
In pratica, userò i dati disponibili per la Lombardia per calibrare (cioè per attribuire valori numerici) ai parametri chiave del modello e derivarne alcune previsioni.
Una versione user-friendly del modello è disponibile a questo sito, dove il lettore interessato può ripetere la simulazione qui discussa e procedere ad altre, alternative, introducendo le ipotesi preferite sui parametri rilevanti.

Le risposte dalla simulazione del modello

I risultati della simulazione inducono ad alcune considerazioni rilevanti per le loro implicazioni di politica economica e sanitaria.

– La tenuta del sistema ospedaliero e, di conseguenza, la proiezione della mortalità dipendono in maniera cruciale dal successo del lockdown nell’abbassare il parametro di riproduzione netta (R) che determina il numero di infezioni secondarie generate da un individuo infetto: rispettare le regole è molto importante per salvare vite.

– Come indicato chiaramente in un eccellente articolo scritto da un gruppo di medici e ricercatori dell’ospedale Papa Giovanni XXIII di Bergamo, la priorità è ora quella di ricercare soluzioni pandemiche per tutta la popolazione, non solo per gli ospedali. La simulazione del modello rivela un ritardo nella scoperta del fenomeno e una forte sottostima dei contagiati, dei contagiati asintomatici e degli immuni. Una politica che consenta una mappatura precisa dei contagiati e degli immuni, fuori dagli ospedali e sul territorio, è fondamentale per la gestione della crisi.

– La gestione dell’evoluzione della contagiosità dopo la rimozione del lockdown è di importanza cruciale. Il blocco totale ha costi immediati sull’andamento dell’economia perché crea riduzioni drastiche sia dell’offerta che della domanda aggregata. Tuttavia, nel valutare quando e come allentarlo va tenuta in considerazione l’evoluzione della contagiosità dopo la sua rimozione. Infatti, esiste un rischio sanitario che va accuratamente valutato e prevenuto: quello della diffusione di una seconda ondata di contagio.

Il modello

Il modello Seir (Susceptible, Exposed, Infectious, Removed) divide la popolazione totale (N) in quattro gruppi: i contagiabili, i contagiati asintomatici, i contagiati e gli immuni. La dinamica dei quattro gruppi determina i vari stadi della diffusione del virus ed è controllata da una serie di parametri.
Il gruppo dei contagiabili si riduce ogni giorno dalla comparsa del paziente 1 a un tasso che dipende dalla probabilità con cui un individuo contagiabile incontra un infetto perché contagiato, da un parametro di importanza cruciale – R – che controlla il numero di infezioni secondarie generate da un individuo infetto e dal numero di giorni in cui un individuo può trasmettere il contagio.
La dinamica degli asintomatici dipende dalla differenza tra i nuovi ingressi in questo gruppo (sono le uscite dal gruppo dei contagiabili) e le uscite dal gruppo, che sono costituite dai contagiati asintomatici che portano a termine il periodo di incubazione.
La dinamica dei contagiati dipende dai nuovi ingressi (cioè le uscite dal gruppo dei contagiati asintomatici) e dalle uscite, che dipendono dal tasso di fatalità della malattia e, nel caso di sopravvivenza, dal numero di giorni in cui un individuo è infetto. Gli individui contagiati si dividono a loro volta tra coloro per i quali l’intensità della malattia richiede assistenza ospedaliera (la numerosità di questo gruppo è controllata dal tasso di ospedalizzazione) e coloro i quali manifestano sintomi leggeri, non richiedono ospedalizzazione e recuperano più velocemente.
La logica del modello è semplice: per determinati valori dei parametri che disciplinano la dinamica della trasmissione e la dinamica clinica, la simulazione dinamica permette di seguire nel tempo l’evoluzione della malattia.

L’utilizzazione del modello

Per utilizzare il modello allo scopo di simulare una dinamica che sia la più vicina possibile alla realtà della Lombardia, procediamo tramite una calibrazione motivata dei vari parametri e introduciamo nella dinamica dei dati il “lockdown” stabilendone la tempistica e l’intensità in termini di riduzione del parametro R₀ che determina la contagiosità. Riportiamo quindi i risultati della simulazione del modello per 200 giorni dal giorno 1 (la comparsa del primo paziente).

La scelta dei parametri

Riportiamo di seguito la calibrazione adottata, che può essere modificata da ogni utente tramite cursori accedendo al sito sopracitato.

Figura 1

La dimensione della popolazione è quella della Lombardia, tutti gli altri parametri sono calibrati ai valori medi sulla base dell’evidenza internazionale raccolta su Covid-19, con la sola eccezione del tasso di ospedalizzazione che è calibrato per replicare il numero di ricoveri registrati in Lombardia nei giorni immediatamente precedenti la decisione del blocco totale di domenica 8 marzo 2020.

La tempistica del lockdown

Sulla dinamica base del modello, caratterizzata da una contagiosità di 2,20 derivata dall’evidenza internazionale su Covid-19, introduciamo l’intervento di lockdown. A questo proposito, le questioni rilevanti sono due: la tempistica e l’intensità. Calibriamo entrambi i parametri tenendo conto dell’evidenza disponibile sulla mortalità osservata domenica 8 marzo 2020 e mercoledì 25 marzo 2020.
L’8 marzo la mortalità in Lombardia era di 100 vittime al giorno, questo colloca l’intervento al 100esimo giorno dalla comparsa del primo paziente. La mortalità osservata il 25 marzo 2020 è di 296 vittime, scegliamo il parametro R post-intervento per ottenere dal modello una previsione del numero di vittime. Il valore risultante per il parametro di contagiosità a 0,95 (con un effetto del lockdown di riduzione proporzionale della contagiosità del 57 per cento).

Figura 2

I risultati

Riportiamo i risultati del modello analizzando la dinamica dei contagiati asintomatici (Exposed), degli ospedalizzati (Hospitalized), delle vittime (Fatalities) e degli immuni (Recovered).

Figura 3 – Dinamica degli asintomatici

Figura 4 – Dinamica degli ospedalizzati

Figura 5 – Dinamica delle vittime

Figura 6 – Dinamica degli immuni

Per quanto riguarda i contagiati asintomatici, il modello indica a oggi un numero vicino a 120 mila casi, in discesa e con il picco superato grazie al lockdown.
La dinamica degli ospedalizzati prevede un picco sopra ai 15 mila casi, 40 giorni dopo l’intervento, cioè nella seconda settimana di aprile 2020.
Purtroppo, la mortalità con un parametro del 2 per cento ha un valore previsto che si cumula fino a circa 25 mila individui. Lo scenario sarebbe tuttavia molto più drammatico senza il blocco e la conseguente riduzione del parametro di contagiosità: in quel caso il numero delle vittime salirebbe a 160 mila.
Una mortalità del 2 per cento, in linea con i dati internazionali, prevede con grande precisione la dinamica osservata. La mortalità calcolata sulla base dei positivi risulta molto più alta perché i positivi misurati sulla base dei tamponi sottostimano notevolmente quelli previsti in base al modello.
Ma ci sono anche buone notizie: il modello indica che la popolazione degli immuni perché hanno superato la sintomatologia del virus si colloca intorno a 400 mila individui.